Worum es hier wirklich geht

Stell dir vor, du hast einen Obstgarten. Aktuell stehen 100 Apfelbäume auf einem Hektar, und jeder Baum trägt 600 Äpfel. Klingt gut, oder? Jetzt fragt dich der Bauer: "Soll ich mehr Bäume pflanzen?" Du denkst dir: klar, mehr Bäume = mehr Äpfel. Aber dann erklärt er dir: jeder zusätzliche Baum macht das Feld voller, die Bäume klauen sich gegenseitig Licht und Wasser, und jeder Baum trägt dann etwas weniger Äpfel. Konkret: pro zusätzlichem Baum verliert jeder Baum 4 Äpfel.

Jetzt wird die Frage interessant. Mehr Bäume bringen einerseits mehr Ernte (mehr Bäume × Äpfel pro Baum), aber andererseits weniger pro Baum. Es gibt also einen Punkt, ab dem zusätzliche Bäume die Gesamternte sogar wieder kleiner machen. Und genau diesen Punkt sollst du finden.

Das ist die ganze Aufgabe. Egal ob es um Bäume geht, um den optimalen Eintrittspreis für ein Parkhaus, oder um die beste Anzahl Flaschen — das Muster ist immer das gleiche. Zwei Größen hängen zusammen, eine geht hoch wenn die andere runter geht. Du multiplizierst sie und suchst den höchsten Punkt.

In diesem Topic lernst du Schritt für Schritt, wie du sowas löst — auch wenn du Mathe nicht magst und seit der Schule keine Funktion mehr gesehen hast.

Schritt 1: Was eine "lineare Beziehung" ist

Bevor wir irgendwas rechnen, müssen wir eine simple Idee verstehen: was bedeutet "linear"?

Linear heißt: immer gleich viel pro Schritt. Wenn dein Taxi 5 € Grundgebühr nimmt und dann 2 € pro Kilometer, dann ist das linear. Egal ob du den ersten oder den fünfzigsten Kilometer fährst — jeder Kilometer kostet 2 €. Nicht mehr, nicht weniger.

Ein paar konkrete Beispiele aus dem Alltag:

• Taxi: 5 € Grundgebühr + 2 € pro km. Bei 10 km zahlst du 25 €. Bei 20 km zahlst du 45 €.
• Strom: 15 € Grundgebühr im Monat + 0,30 € pro kWh. Bei 100 kWh zahlst du 45 €. Bei 200 kWh zahlst du 75 €.
• Apfelbäume: bei 100 Bäumen trägt jeder 600 Äpfel. Pro zusätzlichem Baum 4 weniger. Bei 101 Bäumen also 596 pro Baum, bei 102 Bäumen 592, und so weiter.

Wichtig: linear ist nicht das gleiche wie "proportional". Das Taxi hat einen Startwert (die 5 € Grundgebühr) — auch wenn du 0 km fährst, zahlst du etwas. Die Steigung (2 € pro km) ist davon getrennt.

Die einzige Formel die du hier brauchst

$f(x) = k \cdot x + d$

In Worten: nimm den Startwert ($d$), addiere für jeden Schritt $x$ den festen Betrag $k$ dazu. Beim Taxi ist $d = 5$ und $k = 2$. Bei 10 km: $5 + 2 \cdot 10 = 25$ €.

• $k$ ist die Steigung: wie viel ändert sich pro Schritt? Beim Taxi 2 €/km, bei den Äpfeln $-4$ Äpfel pro zusätzlichem Baum (minus, weil es weniger werden).
• $d$ ist der Startwert: was hast du wenn $x = 0$ ist? Beim Taxi 5 €.

Das ist alles. Wenn dir jemand sagt "pro zusätzlicher Einheit ändert sich was um soundsoviel", ist das eine lineare Beziehung, und du kannst sie sofort hinschreiben.

Schritt 2: Was passiert wenn du zwei lineare Sachen multiplizierst

Jetzt der Trick. In der Apfelaufgabe hast du zwei lineare Größen:

1. Die Anzahl Bäume — die geht hoch wenn du mehr pflanzt.
2. Die Äpfel pro Baum — die geht runter wenn du mehr pflanzt.

Die Gesamternte ist das Produkt: Anzahl Bäume × Äpfel pro Baum. Wenn beide linear sind und du sie multiplizierst, kommt etwas Neues raus: eine Parabel.

Eine Parabel ist eine bogenförmige Kurve. Sieht aus wie ein umgedrehtes U (oder ein normales U, je nachdem). Das wichtige für uns: eine Parabel hat genau einen höchsten Punkt (oder tiefsten Punkt). Diesen Punkt nennt man den Scheitelpunkt.

Und genau dieser höchste Punkt ist die Antwort auf unsere Frage. Da liegt das Optimum. Mehr ist es nicht.

Warum kommt ausgerechnet eine Parabel raus?

Ist eigentlich logisch wenn du drüber nachdenkst:

• Wenig Bäume: wenige Bäume mal viele Äpfel pro Baum = kleine bis mittlere Ernte
• Genau richtig viel Bäume: ausgewogen → größte Ernte
• Zu viele Bäume: viele Bäume mal kaum Äpfel pro Baum = wieder kleinere Ernte

Diese Form — erst rauf, Maximum, dann wieder runter — ist genau eine Parabel.

Wie eine Parabel als Formel aussieht

$f(x) = a x^2 + b x + c$

Keine Panik. Du musst diese Form fast nie selbst hinschreiben. Wenn du zwei lineare Sachen multiplizierst, kommt sie automatisch raus. Beispiel mit konkreten Zahlen aus der Apfelaufgabe:

Anzahl Bäume: $100 + x$ (Ausgangswert 100, plus die Abweichung $x$) Äpfel pro Baum: $600 - 4x$ (Ausgangswert 600, minus 4 pro zusätzlichem Baum)

Multipliziert: $(100 + x)(600 - 4x) = 60\,000 - 400x + 600x - 4x^2 = 60\,000 + 200x - 4x^2$

Das ist eine Parabel. $a = -4$, $b = 200$, $c = 60\,000$.

Schritt 3: Die wichtigste Formel im ganzen Topic

Wir suchen den höchsten Punkt der Parabel. Dafür gibt es eine ganz einfache Formel:

$x_s = -\frac{b}{2a}$

Das ist die einzige Formel die du dir wirklich merken musst. In Worten: nimm das $b$ aus deiner Parabel, mach es negativ, und teile es durch das Doppelte von $a$.

In unserem Apfelbeispiel: $a = -4$, $b = 200$.

$x_s = -\frac{200}{2 \cdot (-4)} = -\frac{200}{-8} = 25$

Also $x = 25$. Das heißt: 25 mehr Bäume als die ursprünglichen 100. Optimal sind $100 + 25 = 125$ Bäume.

Das ist die Lösung. Wir hatten uns kurz gefragt ob mehr Bäume gut sind, und die Mathematik sagt jetzt: ja, aber genau bis 125, nicht weiter.

Plausibilitätscheck — der wichtigste Schritt

Bevor du das Ergebnis hinschreibst, prüf zwei Sachen:

1. Ist $a$ negativ? Nur dann hat die Parabel einen höchsten Punkt (Maximum). Wenn $a$ positiv ist, hast du irgendwo ein Vorzeichen verloren — die Parabel hätte dann einen tiefsten Punkt (Minimum), und das wäre Quatsch in einer Optimierungsaufgabe.

2. Macht das Ergebnis Sinn? 125 Bäume klingen vernünftig. Wenn du $x = -500$ ausrechnen würdest, hieße das "minus 400 Bäume" — das geht nicht. Dann hast du dich verrechnet.

Schritt 4: Das Apfelbaum-Schema komplett durchgerechnet

Jetzt machen wir das Apfelbaum-Beispiel langsam und sauber, damit du das Schema einmal komplett vor Augen hast.

Aufgabe (Nov 2025): Auf einer Plantage stehen 112 Bäume pro Hektar mit 220 Äpfeln pro Baum. Jeder zusätzliche Baum bringt 10 Äpfel weniger pro Baum. Wie viele Bäume sind optimal?

Schritt A — Die drei Zahlen aus der Angabe rauslesen:

• Ausgangs-Anzahl Bäume: $m_0 = 112$
• Ausgangs-Ertrag pro Baum: $s_0 = 220$
• Veränderung pro zusätzlichem Baum: $\Delta = -10$ (minus, weil weniger!)

Schritt B — Beide Größen als lineare Funktion schreiben:

Wir führen eine Hilfsvariable $x$ ein. $x$ ist die Abweichung von der Ausgangslage. $x = 5$ heißt 5 Bäume mehr. $x = -3$ heißt 3 weniger.

• Anzahl Bäume: $m(x) = 112 + x$
• Ertrag pro Baum: $s(x) = 220 - 10x$

Schritt C — Multiplizieren:

Gesamternte = Bäume × Ertrag pro Baum

$Z(x) = (112 + x)(220 - 10x)$

Ausmultipliziert (Klammer mal Klammer):

$Z(x) = 112 \cdot 220 + 112 \cdot (-10x) + x \cdot 220 + x \cdot (-10x)$ $Z(x) = 24\,640 - 1120x + 220x - 10x^2$ $Z(x) = -10x^2 - 900x + 24\,640$

Das ist die Parabel. $a = -10$, $b = -900$, $c = 24\,640$.

Schritt D — Scheitelformel anwenden:

$x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{-900}{2 \cdot (-10)} = -\frac{-900}{-20} = -45$

Also $x = -45$. Das bedeutet: 45 Bäume weniger als die ursprünglichen 112. (Negatives Vorzeichen heißt einfach: in die andere Richtung optimieren.)

Schritt E — Antwort aufschreiben:

Optimale Anzahl Bäume: $112 + (-45) = 67$ Bäume.

Das ist die Antwort. Nicht $x = -45$, sondern die tatsächliche Anzahl $= 67$.

Schritt F — Probe machen (optional, aber empfohlen):

Bei 67 Bäumen trägt jeder Baum: $220 - 10 \cdot (-45) = 220 + 450 = 670$ Äpfel. Gesamternte: $67 \cdot 670 = 44\,890$ Äpfel.

Zum Vergleich bei den ursprünglichen 112 Bäumen: $112 \cdot 220 = 24\,640$ Äpfel. Die optimale Lösung bringt also fast doppelt so viel — der Bauer hatte tatsächlich zu viele Bäume.

Merke das Schema: drei Zahlen rauslesen → zwei Linien hinschreiben → multiplizieren → Scheitelformel → Antwort. Fünf Schritte, immer gleich.

Schritt 5: Wenn der Preis die Variable ist

Bisher haben wir die Menge variiert (Anzahl Bäume). Genauso oft variierst du in Klausuraufgaben den Preis. Die Logik bleibt exakt die gleiche.

Aufgabe: Ein Kino kassiert 8 € Eintritt und hat 400 Besucher. Pro 1 € Preissenkung kommen 100 zusätzliche Besucher. Welcher Preis maximiert die Einnahmen?

Das ist die gleiche Aufgabe wie der Apfelbaum, nur mit anderen Wörtern:

• Preis ersetzt "Anzahl Bäume"
• Besucherzahl ersetzt "Äpfel pro Baum"
• Erlös = Preis × Besucher

Schritt A — drei Zahlen:

• Ausgangspreis $p_0 = 8$ €
• Ausgangs-Besucher $K_0 = 400$
• Veränderung pro 1 € Senkung: $+100$ Besucher

Schritt B — Besucherzahl als Funktion vom Preis:

Bei einem Preis von $p$ Euro ist die Senkung gegenüber 8 € genau $(8 - p)$. Pro Euro Senkung kommen 100 mehr, also:

$K(p) = 400 + 100 \cdot (8 - p) = 1200 - 100p$

Check: bei $p = 8$ ist $K = 1200 - 800 = 400$ ✓. Bei $p = 7$ ist $K = 1200 - 700 = 500$ (also 100 mehr Besucher, passt).

Schritt C — Erlös = Preis × Besucher:

$R(p) = p \cdot (1200 - 100p) = 1200p - 100p^2$

Parabel mit $a = -100$, $b = 1200$.

Schritt D — Scheitelformel:

$p_s = -\frac{1200}{2 \cdot (-100)} = -\frac{1200}{-200} = 6$

Antwort: Optimaler Eintrittspreis = 6 €. Bei diesem Preis kommen 600 Besucher, Erlös $= 6 \cdot 600 = 3600$ €.

Trick zur Plausibilität: Bei linearer Nachfrage liegt der erlösoptimale Preis genau in der Mitte zwischen Null und dem "Prohibitivpreis" (wo keiner mehr kauft). Hier wird $K(p) = 0$ bei $p = 12$. Mitte zwischen 0 und 12 = 6 ✓.

Schritt 6: Erlös, Ertrag, Gewinn — was ist gefragt?

Aufpassen bei der Wortwahl in der Aufgabe:

• Erlös oder Umsatz: einfach Preis × Menge. Keine Kosten.
• Ertrag: gleiche Idee, aber in der Landwirtschaft (Bäume, Hektar). Auch ohne Kosten.
• Gewinn: Erlös minus Kosten. Hier musst du was zusätzlich tun.

Bei Gewinn gibt es zwei Arten von Kosten:

Fixkosten sind ein konstanter Betrag (z.B. 1000 € Pacht egal wie viel du verkaufst). Sie ändern den optimalen Preis nicht. Sie verschieben den Gewinn nur nach unten als Ganzes, aber der Scheitelpunkt liegt bei dem gleichen Preis.

Stückkosten (auch "variable Kosten" genannt) sind Kosten pro verkauftem Stück. Z.B. 4 € Materialkosten pro Flasche. Diese ändern den optimalen Preis sehr wohl. Faustregel: pro 1 € Stückkosten verschiebt sich der optimale Preis um 0,50 € nach oben.

Beispiel mit Stückkosten

Bei 12 €/Flasche werden 1000 Flaschen verkauft, pro 1 € Senkung kommen 200 Flaschen dazu. Stückkosten 4 €. Optimaler Preis?

Menge als Funktion vom Preis: $x(p) = 1000 + 200 \cdot (12 - p) = 3400 - 200p$

Gewinn ist nicht Preis × Menge (das wäre Erlös), sondern (Preis − Stückkosten) × Menge:

$G(p) = (p - 4)(3400 - 200p)$

Ausmultiplizieren: $G(p) = 3400p - 200p^2 - 13\,600 + 800p = -200p^2 + 4200p - 13\,600$

Scheitel: $p_s = -\frac{4200}{2 \cdot (-200)} = \frac{4200}{400} = 10{,}50$ €.

Antwort: 10,50 €. Ohne die Stückkosten wäre das Optimum bei 8,50 € gewesen — die 4 € Stückkosten haben das Optimum um genau 2 € (= Hälfte der Stückkosten) nach oben verschoben. Das ist immer so.

Das Schema auf einen Blick

Egal welche Variante — alle Klausuraufgaben zu Topic 1 laufen nach dem gleichen Schema:

1. Lies die drei Zahlen aus der Angabe. Ausgangs-Menge, Ausgangs-Stückgröße (oder Preis und Kundenzahl), Veränderung pro Schritt. Vorzeichen beachten.
2. Schreib beide Größen als lineare Funktionen — eine geht hoch, die andere runter.
3. Multipliziere die beiden. Bei Gewinn vorher Stückkosten von Preis abziehen.
4. Wende die Scheitelformel an $x_s = -b/(2a)$.
5. Rechne auf die echte Antwort zurück (Ausgangswert + Abweichung).

Worked Examples aus echten Klausuren

Beispiel 1: Apfelbau (Standard-Variante)

100 Bäume, 600 Äpfel pro Baum, pro zusätzlichem Baum 4 Äpfel weniger.

• $m_0 = 100$, $s_0 = 600$, $\Delta = -4$
• $Z(x) = (100 + x)(600 - 4x) = -4x^2 + 200x + 60\,000$
• $x_s = -\frac{200}{2 \cdot (-4)} = 25$
• Optimal: 125 Bäume. Ertrag: $125 \cdot (600 - 4 \cdot 25) = 125 \cdot 500 = 62\,500$ Äpfel.

Beispiel 2: Tiefgarage

120 Plätze, bei 800 GE 84 Kunden. Pro 100 GE Senkung +1 Kunde. Optimaler Preis?

• Kunden pro 1 GE: $\frac{1}{100}$. Also $K(p) = 84 + \frac{800 - p}{100} = 92 - \frac{p}{100}$
• Erlös: $R(p) = 92p - \frac{p^2}{100}$
• $p_s = -\frac{92}{2 \cdot (-1/100)} = 92 \cdot 50 = 4600$ GE
• Optimaler Preis: 4600 GE. Bei diesem Preis: $K = 92 - 46 = 46$ Kunden, unter Kapazität — passt.

Beispiel 3: Hektar-Ertrag

50 Hektar bei 6 Tonnen pro Hektar. Pro zusätzlichem Hektar fällt der Ertrag pro Hektar um 0,1 Tonnen.

• $m_0 = 50$, $s_0 = 6$, $\Delta = -0{,}1$
• $Z(x) = (50 + x)(6 - 0{,}1x) = -0{,}1x^2 + x + 300$
• $x_s = -\frac{1}{2 \cdot (-0{,}1)} = 5$
• Optimale Fläche: 55 Hektar. Ertrag pro Hektar: 5,5 t. Gesamtertrag: 302,5 t.

Die häufigsten Fehler in der Klausur

Falle 1: Du gibst $x$ als Antwort statt die echte Menge. $x = -45$ heißt nicht "−45 Bäume". Es heißt "45 weniger als die Ausgangslage". Antwort ist $112 - 45 = 67$. Klassischer Flüchtigkeitsfehler.

Falle 2: Vorzeichen von $\Delta$ vergessen. Wenn "pro zusätzlicher Einheit X weniger" steht, ist $\Delta$ negativ. Wer das vergisst, bekommt $a$ positiv raus → Minimum statt Maximum → falsche Antwort.

Falle 3: Bei Gewinnaufgaben Stückkosten vergessen abzuziehen. $p \cdot x$ ist Erlös, nicht Gewinn. Gewinn ist $(p - c) \cdot x$. Wer das verwechselt, bekommt einen falschen optimalen Preis raus.

Falle 4: Einheiten verwechseln. Bei "pro 100 GE Senkung +1 Kunde" ist der Bruch $\frac{1}{100}$, nicht $100$. Eine vertauschte Brucheinheit verschiebt das Ergebnis um Faktor 10.000.

Falle 5: Fixkosten verändern den Preis. Nein, tun sie nicht. Fixkosten verschieben nur das absolute Gewinn-Niveau, der optimale Preis bleibt der gleiche. Wer trotzdem rechnet, vergeudet Zeit und kommt zum gleichen Ergebnis.

Falle 6: Kapazitätsgrenze ignoriert. Wenn dein optimaler Preis mehr Kunden ergibt als das Parkhaus / das Stadion / die Lagerhalle fasst, gilt die Kapazitätsgrenze, nicht das Scheitel-Optimum. In der Praxis selten, aber kann vorkommen.

Die wichtigsten Formeln auf einen Blick

Wenn du diese Tabelle verstehst und das 5-Schritt-Schema beherrschst, hast du Klausurfrage 1 sicher.

Merksatz für die Klausur

Zwei lineare Größen mal einander → automatisch Parabel.

Parabel hat einen höchsten Punkt → das ist das Optimum.

Höchster Punkt liegt bei $x_s = -b/(2a)$. Das ist die einzige Formel die du auswendig brauchst.

Antwort am Ende immer auf die echte Größe zurückrechnen, nicht $x$ als Antwort hinschreiben.

Bei Gewinn: Stückkosten vom Preis abziehen, bevor du mit der Menge multiplizierst.